CURSO PROPEDUETICO-MATEMATICAS(apuntes)

Aritmética

La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales. Proviene de ἀριθμητικός, término de origen griego; arithmos αριθμός que quieren decir número y techne habilidad.

Teoría del orden

Conjuntos parcialmente ordenados

Como ya se hizo alusión, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

a ≤ a (reflexividad)

si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)

si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés partially ordered set). El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro del contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. Comprobando esta propiedad, se ve inmediatamente que los bien conocidos órdenes de los naturales, enteros, racionales y reales son todos órdenes en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad adicional de ser total, es decir, para todo a, b en X

a ≤ b o b ≤ a (totalidad)

este orden se puede también llamar orden lineal o cadena. mientras que muchos órdenes clásicos son lineales, el orden entre subconjuntos de un conjunto proporciona un ejemplo donde éste no es el caso. De hecho, muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para un orden no lineal.

Recta numérica

La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan a la izquierda y los positivos a la derecha.

Recta numérica real

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

Número real

Diferentes clases de números reales.

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Operaciones básicas

La Aritmética tiene siete operaciones básicas, que son:  

• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
• Potenciación
• Radicación
• Logaritmación                              A la consideración conjunta de todas estas operaciones se le conoce como cálculo aritmético.

Suma

La suma o adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.

Propiedades de la suma

• Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado: a+b=b+a.
• Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c
• Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
• Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
• Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.
• Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo a+b=c

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

Resta

5 – 2 = 3

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.

Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c–b=a.

En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.
Se procede colocando el minuendo encima del sustraendo, ordenando las cifras en columnas de derecha a izquierda según el orden de unidades, decenas, centenas etc. igual que en la suma.
La resta de los números 1419 y 751 se ordenarían de la siguiente forma:

Multiplicación

Propiedad conmutativa:
3×4 = 12 = 4×3
doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.

La multiplicacion es una operacion binaria en el conjunto de los numeros naturales.Sus terminos son factor y producto. La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos).

Propiedades

Propiedad conmutativa

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

Propiedad asociativa

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.
Por ejemplo:

(8×3)×2 = 8×(3×2)

24×2 = 8×6

48 = 48

Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x·(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Elemento neutro

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

Cero

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que

m·0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

Producto de números negativos

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):
(-1)(-1) = -(-1) = 1

Producto de números negativos

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):
(-1)(-1) = -(-1) = 1